Sistemas de equações...

Noções:

     A soma de dois números é 12 e a diferença entre eles é 4. Quais são estes números?
    Para a resolução de problemas como este que apresenta duas incógnitas desconhecidas, utilizamos um sistema de equações.
    Chamamos de x o primeiro número (o maior) e de y o segundo número.
Pelo enunciado:
     » soma de dois números é 12, ou seja:  x+y = 12 ...I
     » a diferença entre eles é 4, isto é :     x-y = 4 .....II
     A solução de um sistema de equações com duas variáveis é um par ordenado (x,y) de números reais que satisfaz as duas equações ( I e II ).
     Verificando o par ordenado (8,4), notamos que satisfaz as duas equações:
     8+4=12 e 8-4=4 , logo a solução do sistema é (8,4)
     Vejamos agora os métodos para a resolução de sistema de equações:
Método da adição:

 » basta eliminar uma das variáveis, através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau com uma variável.
Ex: x+y=12  
     x-y=4
     Notamos que as duas equações possuem termos opostos
(y e -y).
     Com isso, basta somar as duas equações:
     
     
         
           

     A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em uma das equações.
        8+y=12                ou             8-y=4
           y=12-8                               -y=4-8
           y=4                                      y=4

     O par ordenado (x,y)=(8,4) é a solução do sistema.
Outro exemplo:
      ... I
      .. II
     » Note que as equações não possuem coeficientes opostos, logo se somarmos membro a membro, não eliminaremos nenhuma variável.
     Para a resolução deste sistema, devemos escolher uma variável para ser eliminada.
     Para isso, multiplicamos a equação I por -2:
      ... I
          ... II
         0x + 0y = 6  .... III
     Observe que a equação III não possui solução, logo a solução do sistema seria vazio.
      S= { }
Método da substituição:
     » Consiste em eliminarmos uma das variáveis isolando seu valor numa das equações do sistema, para em seguida substitui-la na outra.
Ex: x+y=12 ... I
      x-y=4 .... II
     Escolhemos uma das variáveis na primeira equação, para determinarmos o seu valor:
     x+y=12  »  x=12-y
     Substituímos na outra equação:

    (12-y) - y = 4
          12-2y = 4 
             -2y = -8
                y=4
     Substituindo o valor encontrado em uma das equações:

       x+4=12   »  x=12-4  »  x=8
     Logo a solução do sistema seria:
             S = {(8,4)}
Ex:
      ... I
       ... II
      Escolhemos a variável y da equação II:
       ... II
      Substituindo na equação II :
      
      
      
         
      Substituindo o valor de x encontrado em II:
      
      Logo a solução do sistema é :
               S = {( 10,4 )}
Método da comparação:
» Consiste em comparmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações:
      x+2y=2     »   x=2-2y
      x+y = 3     »   x=3-y

      Comparando as duas equações:
                2-2y=3-y
               -2y+y=3-2
                   -y = 1
                    y = -1
      Substituindo o valor de y encontrado:
           x = 2-2.(-1)  »  x=2+2=4
     Portando S= {(4,-1)}